Liczby zespolone Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastki z liczby zespolonej

Definicja 1: Pierwiastek z liczby zespolonej

Niech $ n $ będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem stopnia $ n $ z liczby zespolonej $ z $ nazywamy każdą liczbę zespoloną $ w $ spełniającą warunek

$ w^{n}=z $

Symbolem $ \sqrt[n]{z} $ oznaczamy zbiór pierwiastków $ n $-tego stopnia z liczby zespolonej $ z $.

Przykład 1:

Przyjrzyjmy się równaniu $ w=\sqrt{4}. $
Rozważając to równanie w dziedzinie rzeczywistej otrzymamy jedno jedyne rozwiązanie $ w=2 $, bo $ 2^{2}=4 $ oraz $ 2 $ jest liczbą nieujemną.
Traktując natomiast liczbę $ 4 $ jako liczbę zespoloną i obliczając z niej pierwiastek zespolony drugiego stopnia otrzymamy $ w=\left\{ \begin{array}{r} 2\\ -2 \end{array} \right. $ ponieważ kwadraty obydwu tych liczb są równe $ 4 $.

Przykład 2:

Obliczmy $ \sqrt{3-4i} $.
Zgodnie z definicją poszukujemy wszystkich liczb zespolonych $ w $ spełniających równanie

$ w^{2}=3-4i. $

Niech $ w=x+iy $, gdzie $ x,y \in \mathbb{R} $.
Mamy $ w^{2}=3-4i \Leftrightarrow (x+iy)^{2}=3-4i\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2ixy=3-4i. $
Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania otrzymujemy układ równań

$ \left\{ \begin{array}{r} x^{2}-y^{2}=3 \quad (1)\\ 2xy=-4\qquad (2)\end{array} \right. . $

Wyliczając z równania $ (2) $ $ y=\frac{-2}{x} $ (zauważmy, że dla $ x=0 $ równanie $ (2) $ jest sprzeczne, a zatem możemy założyć, że $ x≠0 $ i wstawiając do równania $ (1) $ otrzymujemy

$ x^{2}-\frac{4}{x^{2}}=3, $

skąd z kolei, mnożąc obustronnie przez $ x^{2} $ i przenosząc wszystko na lewą stronę otrzymujemy równanie dwukwadratowe

$ x^{4}-3x^{2}-4=0. $

Wstawiając następnie pomocniczą zmienną $ t=x^{2} $, gdzie $ t>0 $ dostajemy równanie kwadratowe

$ t^{2}-3t-4=0, $

którego rozwiązaniami są liczby $ t_{1}=4 $ i $ t_{2}=-1 $, przy czym $ t_{2} $ nie spełnia założenia $ t>0 $.
Zatem $ x^{2}=4 $, a stąd $ x_{1}=2 $ lub $ x_{2}=- $. Otrzymaliśmy już części rzeczywiste szukanych pierwiastków, pozostaje jeszcze wyliczyć części urojone, korzystając z wcześniej wyprowadzonej zależności $ y=\frac{-2}{x} $. I tak: dla $ x_{1}=2 $ otrzymujemy $ y_{1}=-1 $, zaś dla $ x_{2}=-2 $ $ y_{2}=1 $.
Wobec tego poszukiwanymi pierwiastkami są liczby

$ w_{1}=2-i, w_{2}=-2+i. $

Twierdzenie 1: Wzór na pierwiastki z liczby zespolonej

Dla każdej różnej od zera liczby zespolonej $ z $ i dla każdej liczby naturalnej $ n $ istnieje dokładnie $ n $ różnych pierwiastków zespolonych stopnia $ n $ z liczby $ z $, tworzących zbiór $ \{ w_{0}, w_{1},\ldots, w_{n-1} \} $.

Jeżeli liczba $ z $ jest postaci $ z=r(\cos \varphi+ i\sin \varphi) $, to pierwiastki te wyrażają się wzorami

(1)

$ w_{k}=\sqrt[n]{r}\left( \cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n} \right), \hspace{1em} k=0,1,\ldots,n-1. $

Podkreślmy, że symbol $ \sqrt[n]{r} $ występujący w powyższym wzorze oznacza "zwykły" pierwiastek arytmetyczny stopnia $ n $ z liczby rzeczywistej $ r $, jest zatem określony jednoznacznie.

Warto zapamiętać, że w interpretacji geometrycznej wszystkie pierwiastki zespolone stopnia $ n $ z liczby $ z=r(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi) $ leżą na okręgu o środku w punkcie $ (0,0) $ i promieniu $ \sqrt[n]{r} $, w punktach będących wierzchołkami $ n $-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.
Warto także zaznaczyć, że zbiór pierwiastków z liczby zespolonej $ z $ nie zależy od wyboru argumentu tej liczby.

Przykład 3:

Obliczymy pierwiastki stopnia $ 6 $ z liczby $ z=1 $. Łatwo zauważyć, że liczbę $ z=1 $ możemy zapisać jako $ 1=1(\cos 0+i\sin 0) $. Stąd $ r=1 $ oraz $ \varphi=0 $.
Oznaczmy $ \sqrt[6]{1}=\{w_{0},\ldots, w_{5}\} $ i zastosujmy wzór ( 1 ). Mamy:

$ w_{0}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{0+0}{6}+i\sin \frac{0+0}{6}\right)=1(1+0i)=1, $

$ w_{1}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{0+2\pi}{6}+i\sin \frac{0+2\pi}{6}\right)=1\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, $

$ w_{2}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{0+4\pi}{6}+i\sin \frac{0+4\pi}{6}\right)=1\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, $

$ w_{3}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{0+6\pi}{6}+i\sin \frac{0+6\pi}{6}\right)=1(\cos\pi+i\sin\pi)=-1 $

$ w_{4}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{0+8\pi}{6}+i\sin \frac{0+8\pi}{6}\right)=1\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}, $

$ w_{5}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{0+10\pi}{6}+i\sin \frac{0+10\pi}{6}\right)=1\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}. $

Zaznaczając liczby $ w_{0}, w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4} $ i $ w_{5} $ na płaszczyźnie zespolonej otrzymamy

$: Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków $6$-go stopnia z liczby zespolonej $z=1$.$

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków $6$-go stopnia z liczby zespolonej $z=1$.

Zapiszmy teraz $ z=1(\cos 2\pi+i\sin2\pi) $. Tym razem zastosujemy wzór ( 1 ) dla $ r=1 $ i $ \varphi=2\pi $. Mamy:

$ w_{0}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{2\pi+0}{6}+i\sin \frac{2\pi+0}{6}\right)=1\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, $

$ w_{1}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{2\pi+2\pi}{6}+i\sin \frac{2\pi+2\pi}{6}\right)=1\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, $

$ w_{2}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{2\pi+4\pi}{6}+i\sin \frac{2\pi+4\pi}{6}\right)=1(\cos\pi+i\sin\pi)=-1, $

$ w_{3}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{2\pi+6\pi}{6}+i\sin \frac{2\pi+6\pi}{6}\right)=1\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}, $

$ w_{4}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{2\pi+8\pi}{6}+i\sin \frac{2\pi+8\pi}{6}\right)=1\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}, $

$ w_{5}=\sqrt[6]{1}\left(\cos \frac{2\pi+10\pi}{6}+i\sin \frac{2\pi+10\pi}{6}\right)=1(1+0i)=1. $

Łatwo widać, że otrzymane liczby różnią się tylko kolejnością.

Przykład 4:

Obliczymy pierwiastki stopnia $ 4 $ z liczby $ z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i. $

Rozpoczniemy od przedstawienia liczby $ z $ w postaci trygonometrycznej.

Mamy:
$ |z|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1 $ oraz

$ \left\{ \begin{array}{lcl} \cos \varphi&=&\frac{-\frac{1}{2}}{1}=-\frac{1}{2}\\ \sin\varphi&=&\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}\right. $

Argumentem głównym liczby $ z $ jest $ \varphi=\frac{2}{3}\pi $, stąd

$ z=1\left(\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi\right). $

Do obliczenia pierwiastków z liczby $ z $ wykorzystamy wzór ( 1 ). Mamy:

$ w_{0}=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{2}{3}\pi+0}{4}+i\sin\frac{\frac{2}{3}\pi+0}{4}\right)=1\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, $

$ w_{1}=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{2}{3}\pi+2\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{2}{3}\pi+2\pi}{4}\right)=1\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, $

$ w_{2}=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{2}{3}\pi+4\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{2}{3}\pi+4\pi}{4}\right)=1\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i, $

$ w_{3}=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{2}{3}\pi+6\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{2}{3}\pi+6\pi}{4}\right)=1\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i. $

Na płaszczyźnie zespolonej otrzymane pierwiastki tworzą kwadrat o środku w punkcie $ (0,0) $, jak na rysunku poniżej ( Rys. 2 ):

$: Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby $z$.$

Rysunek 2: Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby $z$.

Bywa, że łatwo jest odgadnąć jeden z pierwiastków z danej liczby zespolonej. Przykładowo liczba $ w_{0}=1 $ jest jednym z pierwiastków (dowolnego stopnia) z liczby $ z=1 $. W takiej sytuacji do obliczenia pozostałych pierwiastków wygodnie jest zastosować następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2:

Jeżeli $ w_{0} $ jest jednym z pierwiastków $ n $-tego stopnia z liczby $ z $, to wówczas pozostałe pierwiastki wyrażają się wzorem:

(2)

$ w_{k}=w_{0}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\right),\hspace{1em} k=1,\ldots,n-1. $

Przykład 5:

Obliczymy pierwiastki stopnia $ 3 $ z liczby $ (2+2i)^{6} $. Poszukujemy zatem liczb $ w_{0},w_{1},w_{2}\in\{ \sqrt[3]{(2+2i)^{6}}\} $. Zapisując $ (2+2i)^{6} $ jako $ ((2+2i)^{2})^{3} $ łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest liczba $ (2+2i)^{2} $. Niech zatem

$ w_{0}=(2+2i)^{2}. $

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia otrzymujemy

$ w_{0}=4+8i+4i^{2}=8i. $

Aby obliczyć pozostałe pierwiastki wykorzystamy wzór ( 2 ). Mamy:

$ w_{1}=w_{0}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=8i\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-4i+4\sqrt{3}i^{2}=-4\sqrt{3}-4i, $

$ w_{2}=w_{0}\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=8i\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-4i-4\sqrt{3}i^{2}=4\sqrt{3}-4i. $

Na koniec zilustrujemy graficznie otrzymany zbiór pierwiastków: